Problema 26 de Abril
En una mesa hay cartas con los números 0, 1, 2,..., 1024. Diego y Víctor juegan por turnos a quitar cartas
de la mesa. Primero Víctor quita 2^9 cartas, luego Diego quita 2^8, luego Víctor quita 2^7 y así siguen jugando hasta que quedan
exactamente dos números a y b. Al final Diego le paga |a−b| pesos a Víctor. Cuál es la mayor cantidad de dinero que Víctor puede
asegurar que va a ganar?
Problema 25 de Abril
Encontrar las soluciones reales (w,x,y,z) del sistema: w = x + y + z ; 1/w = 1/x + 1/y + 1/z.
Problema 23 de Abril
Sea ABCD un rectángulo con BC=3AB. Y sean P y Q puntos que trisectan al lado BC (BP=PQ=QC). Muestra que angDBC+angDPC=angDQC.
Problema 20 de Abril
Tenemos una tabla de 3 filas por 10 columnas
La primera fila de la tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden. La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden. En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba. ¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?
La primera fila de la tabla se completa con los números del 1 al 10, en ese orden. La segunda fila se completa con los números del 1 al 10, en cualquier orden. En cada casilla de la tercera fila se escribe la suma de los dos números escritos arriba. ¿Hay alguna forma de completar la segunda fila de modo que las cifras de las unidades de los números de la tercera fila sean todas distintas?
Problema 19 de Abril
Si a,b y c son reales positivos. Muestra que
a/(b + 2c) + b/(c + 2a) + c/(a + 2b) >= 1
a/(b + 2c) + b/(c + 2a) + c/(a + 2b) >= 1
Problema 18 de abril
a) Encontrar las parejas (x,y) de enteros positivos tales que x^2 - 13(y!) = 2012
b) Sean k,x,y,z reales tales tales que x+y+z=3k y x^2+y^2+z^2=3k^2 muestra que x=y=z=k
b) Sean k,x,y,z reales tales tales que x+y+z=3k y x^2+y^2+z^2=3k^2 muestra que x=y=z=k
Problema 17 de abril
a) Encuentra el valor de (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1) .... (2^(2^2012) + 1)
b) Prueba que un cuadrado se puede dividir en n cuadrados para cualquier n > 5.
b) Prueba que un cuadrado se puede dividir en n cuadrados para cualquier n > 5.
Problema 16 de abril
Demuestra que para toda n > 4 se pueden dividir los números del 1 al n en dos grupos de tal forma que el producto de los números del primer grupo sea igual a la suma de los números del segundo grupo.
Problema 13 abril
Una compañía de soldados es tal que:
a) n es un número capicua y
b) si se forman en filas de 3 sobran 2 personas, si se forman en filas de 4 sobran 3 y si se forman en filas de 5 quedan exactamente.
Hallar el menor número de soldados que puede haber en la compañía.
a) n es un número capicua y
b) si se forman en filas de 3 sobran 2 personas, si se forman en filas de 4 sobran 3 y si se forman en filas de 5 quedan exactamente.
Hallar el menor número de soldados que puede haber en la compañía.
Problema 12 de Abril
Si a,b,c son reales positivos y a^2 + b^2 + c^2 = 3. Demuestra que:
1/(1 + ab) + 1/(1 + bc) + 1/(1 + ca) >= 3/2
1/(1 + ab) + 1/(1 + bc) + 1/(1 + ca) >= 3/2
Problema 11 de Abril
Sean a,b y c enteros positivos. Muestra que es imposible que estos tres números: a^2 + b + c, b^2 + c + a, c^2 + a + b sean (los tres) cuadrados perfectos.
Problema 10 de Abril
1) Demuestra que un tablero de ajedrez de 8 × 8 no puede ser cubierto con 15 tetraminos “T” y un tetramino cuadrado(de 2 × 2). (son tetraminos de 4 casillas)
2) Un piso rectangular es cubierto por mosaicos de 2 × 2 y de 1 × 4. Uno de estos
mosaicos se rompió y hay uno nuevo disponible del otro tipo. Muestra que no importa como se arreglen los mosaicos, no se puede sustituir el roto por el nuevo.
2) Un piso rectangular es cubierto por mosaicos de 2 × 2 y de 1 × 4. Uno de estos
mosaicos se rompió y hay uno nuevo disponible del otro tipo. Muestra que no importa como se arreglen los mosaicos, no se puede sustituir el roto por el nuevo.
Como ver que n no es una potencia
Al escribir los trucos para ver que algo no es un cuadrado me di cuenta que prácticamente se pueden generalizar todos para una potencia k-esima. (se recomienda primero leer el post de abajo "no sean cuadrados")
Truco 1 (módulos)
Tal ves este es el menos útil, ya que para potencias grandes es difícil ponerse a calcular módulos, sin embargo puede servirnos para tratar con cubos en este caso los módulos más útiles serán 7 y 9 ya que en ambos casos los únicos cubos posibles son -1,0 y 1. (Esto es muy útil en los problemas del 21 de Marzo).
Truco 2 (contradicción)
en este caso si tienen que n=a^k + m (en particular si n=m+1 o si n=m-1 cuando la potencia es impar) pueden suponer que n=b^k y entonces pasar restando y factorizar:
m=b^k - a^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+ .....+ b^(k-1)] y dependiendo de lo que tengan en el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3 (encerrar)
pueden ver que a^k < n < [a+1]^k y entonces n no sera potencia k-esima
Truco 4
Si ven que hay algún primo p tal que p divide a n pero p^k no lo divide entonces n no ser potencia k-esima. (En particular pueden ver que p divide a n pero p^2 no, y entonces p^k tampoco)
Truco 1 (módulos)
Tal ves este es el menos útil, ya que para potencias grandes es difícil ponerse a calcular módulos, sin embargo puede servirnos para tratar con cubos en este caso los módulos más útiles serán 7 y 9 ya que en ambos casos los únicos cubos posibles son -1,0 y 1. (Esto es muy útil en los problemas del 21 de Marzo).
Truco 2 (contradicción)
en este caso si tienen que n=a^k + m (en particular si n=m+1 o si n=m-1 cuando la potencia es impar) pueden suponer que n=b^k y entonces pasar restando y factorizar:
m=b^k - a^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+ .....+ b^(k-1)] y dependiendo de lo que tengan en el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3 (encerrar)
pueden ver que a^k < n < [a+1]^k y entonces n no sera potencia k-esima
Truco 4
Si ven que hay algún primo p tal que p divide a n pero p^k no lo divide entonces n no ser potencia k-esima. (En particular pueden ver que p divide a n pero p^2 no, y entonces p^k tampoco)
No sean Cuadrados
Me puse a revisar los problemas que he puesto en el blog y recordé algunos trucos útiles que les pueden servir, para los problemas que puse y que después pondré.
¿Como demostrar que un número (digamos n) NO es un cuadrado perfecto?
Truco 1
Ver módulos, he notado que la mayoría de los problemas de números que he puesto salen con Módulos, así que sugiero primero que nada intentar módulos. En el caso de cuadrados los más útiles son 3,4 y 5. La idea es ver que n=2 mod3 o que n=2,3 mod 4 o que n=2,3 mod5 y así fácilmente ver que n no es cuadrado, a veces pueden ser útiles otros módulos.
Truco 2
Por contradicción, Esto es si en algún momento tienen una ecuación algo así como n=a^2 + k (osea n es un cuadrado más algo) supongan que n si es cuadrado: n=b^2 y hagan diferencia de cuadrados, les quedará algo asi como k=(b+a)(b-a) y dependiendo que les diga el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3
Encerrar a n entre dos cuadrados consecutivos, esto es ver que hay un entero a tal que a^2 < n < [a+1]^2. Ya sabiendo esto, pueden concluir que n no será cuadrado.
Truco 4
Ver que hay algún factor primo que solo aparece una vez. Esto es, encontrar un primo p que divida a n pero que p^2 no divide a n y esto implica que n no podrá ser un cuadrado.
Ejemplo: Demostrar que 20000(los ceros que quieran)0004 no es un cuadrado perfecto.
Sumando los dígitos podemos ver que el numero es congruente con 0 (mod3) y con 6 (mod9) por lo que 3 lo divide pero 9 no y por lo tanto no puede ser perfecto.
Cuando quieran demostrar que algo no es un cuadrado perfecto tengan en cuenta estos 4 trucos, seguro alguno (o varios) funcionarán. Con la practica sabrán detectar cual les puede ser más útil, pero si no se les ocurre cual usar intenten todos y alguno matará el problema.
¿Como demostrar que un número (digamos n) NO es un cuadrado perfecto?
Truco 1
Ver módulos, he notado que la mayoría de los problemas de números que he puesto salen con Módulos, así que sugiero primero que nada intentar módulos. En el caso de cuadrados los más útiles son 3,4 y 5. La idea es ver que n=2 mod3 o que n=2,3 mod 4 o que n=2,3 mod5 y así fácilmente ver que n no es cuadrado, a veces pueden ser útiles otros módulos.
Truco 2
Por contradicción, Esto es si en algún momento tienen una ecuación algo así como n=a^2 + k (osea n es un cuadrado más algo) supongan que n si es cuadrado: n=b^2 y hagan diferencia de cuadrados, les quedará algo asi como k=(b+a)(b-a) y dependiendo que les diga el problema pueden llegar a una contradicción.
Truco 3
Encerrar a n entre dos cuadrados consecutivos, esto es ver que hay un entero a tal que a^2 < n < [a+1]^2. Ya sabiendo esto, pueden concluir que n no será cuadrado.
Truco 4
Ver que hay algún factor primo que solo aparece una vez. Esto es, encontrar un primo p que divida a n pero que p^2 no divide a n y esto implica que n no podrá ser un cuadrado.
Ejemplo: Demostrar que 20000(los ceros que quieran)0004 no es un cuadrado perfecto.
Sumando los dígitos podemos ver que el numero es congruente con 0 (mod3) y con 6 (mod9) por lo que 3 lo divide pero 9 no y por lo tanto no puede ser perfecto.
Cuando quieran demostrar que algo no es un cuadrado perfecto tengan en cuenta estos 4 trucos, seguro alguno (o varios) funcionarán. Con la practica sabrán detectar cual les puede ser más útil, pero si no se les ocurre cual usar intenten todos y alguno matará el problema.
Vacaciones!!!
Espero que se la pasen bien en sus vacaciones, durante esta semana no pondré nuevos problemas, mi idea es que si tienen tiempo revisen todos los problemas de este año que no han hecho los resuelvan y los escriban, ya les puse hint a todos (o la mayoría de ellos) lean los hints e inténtelos, también ya les puse comentarios a las soluciones que han escrito, revisen si tienen alguno mal. También quiero aprovechar esta semana para hacer como un resumen de los trucos e ideas útiles (básicamente los hints) que se utilizaron para resolver todos estos problemas, al final de la semana pienso escribir las soluciones completas de los problemas, sobre todo los más difíciles. Ya la próxima semana seguiré subiendo problemas como de costumbre.
Cualquier duda, comentario o sugerencia, escríbanme.
Si alguien extraña mucho los problemas del blog o ya es adicto a ellos díganme para ponerles más, jaja
Cualquier duda, comentario o sugerencia, escríbanme.
Si alguien extraña mucho los problemas del blog o ya es adicto a ellos díganme para ponerles más, jaja
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