Problema para el 28 de Febrero

X y X1 se llaman un par de puntos isotómicos del segmento MN, si X y X1 son simétricos con respecto al punto medio de MN. (si cumplen que XM=X1N y por lo tanto XN=X1M)

Demuestra que si D y D1, E y E1, F y F1 son puntos isotómicos de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, y si AD, BE, CF son concurrentes, entonces AD1, BE1, CF1 también son concurrentes.

Problemas de 25 de Febrero

1) Sean D, E, F, los puntos de los lados BC, CA, AB del triángulo ABC, tales que D esté en la mitad del perímetro a partir de A (DB+BA=DC+CA), E en la mitad a partir de B, y F en la mitad a partir de C. Demuestra que AD, BE, CF son concurrentes.

2) Sea ABCDEF un hexágono convexo inscrito en un círculo. Demuestra que las diagonales AD, BE y CF son concurrentes si y sólo si (AB/BC) ·(CD/DE) ·(EF/FA)= 1.

Practicar Ceva y Menelao

1) Demuestra que las medianas concurren

2) Demuestra que las bisectrices concurren

3) Sea ABC un triangulo y D, E, F los puntos de tangencia del incirculo de ABC con los lados BC,CA y AB, demuestra que las lineas AD,BE y CF concurren

4)Sea ABC un triangulo y D, E, F puntos en BC,CA y AB respectivamente, tal que AD,BE y CF concurren, demuestra que D es el punto medio de BC si y solo si EF es paralelo a BC.

5) Sea ABC un triangulo, sean E y F puntos en CA y AB respectivamente. Sea P la intersección de BE con CF y sean Q y R las intersecciones respectivas de AP y EF con BC.
Demuesta que RB/BQ=RC/CQ

Teorema de Ceva

Dado un triángulo ABC, sean D,E,F,puntos sobre las líneas BC,CA,AB, respectivamente. Entonces, AD, BE y CF concurren si y sólo si (AF/FB) (BD/DC) (CE/EA) = 1.

Este es muy parecido al Teorema de Menelao, les pondre problemas para que practiquen estos dos teoremas.

Teorema de Menelao

Dado un triángulo ABC, sean D,E,F, puntos sobre las líneas BC,CA,AB, respectivamente. Entonces,
D, E y F son colineales si y sólo si (AF/FB )·(BD/DC) ·(CE/EA)= 1

Implica que si una linea intersecta a los lados BC,CA,AB, en los puntos D,E,F entonces secumple la propocion anterior.

Este teorema lo pueden usar en el primer problema que les puse.

A una circunferencia se le han trazado dos líneas tangentes paralelas las cuales la tocan en los puntos M y N. Se traza una tercer tangente la cual corta a las tangentes anteriores en los puntos K y L. Sea O el centro de la circunferencia. Demuestra que angKOL = 90◦.

Igual y ya vieron este problema, al igual que el anterior, pero igual intentelo.

Otro problema

Dos circunferencias son tangentes exteriormente en un punto A. BC es una tangente común externa. Demuestra que angBAC = 90◦

rumbo a la XXV OMM

Es hora de empezar a prepararse para el proximo Nacional, aqui les va un problema de geometria.

En el cuadrilatero convexo ABCD, sean E y F los puntos medios de los lados AD y BC , respectivamente. Los segmentos CE y DF se cortan en O. Demostrar que si las rectas AO y BO dividen al lado CD en tres partes iguales entonces ABCD es un paralelogramo