Problema 30 de Abril
Sea a_1, a_2, a_3, ... una sucesión infinita de enteros con una cantidad infinita de términos positivos y una cantidad infinita de términos negativos. Se sabe que para cualquier n, los números a_1, a_2, ... , a_n dejan n residuos distintos al dividirlos por n. Demuestra que cada entero aparece exactamente una vez en la sucesión.
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No estoy seguro de si está tan fácil, pero supongamos que algún entero ai aparece dos veces en la sucesión. Entonces tenemos ai=aj. Sin pérdida de generalidad, j>i, entonces tenemos que j>i≥1. Ahora, nos fijamos en la sucesión a1, a2, a3, ..., aj. (mod j), todos los números deben dejar residuos distintos, pero ai tiene el mismo reciduo que aj, lo cual contradice la condición del problema, por lo cual ai no puede repetirse dos o más veces para cualquier i≥1.■
ResponderBorrary como sabes que todos aparecen?
BorrarPues eso ya está no? el problema dice que son infinitos y como victor ya probó que son diferentes, entonces aparecen todos.
BorrarNo x.x porque pueden ser infinitos y diferentes pero mayores que 1(por decir un ejemplo)
Borrarexacto, podrían aparecer los puros impares por ejemplo.
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