Problema 3 de Mayo
Rogelio está resolviendo problemas en orden. Para ver como va, hace una cuenta de la cantidad de problemas que resuelve. El n umero r(k) es la cantidad de problemas que resolvió tras intentar los primeros k. Se da cuenta que al inicio de la tarde la proporción de problemas que había resuelto (es decir r(k)/k) era menor a 80% y al final de la tarde la proporción era mayor a 80%.
¿Necesariamente hubo algún momento en el que la proporción fuera exactamente 80%?
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La respuesta es sí. Supongamos lo contrario, entonces en algún momento, la proporción de Rogelio era a/k<4/5(4/5 es el 80%) y pasó a ser a+1/k+1>4/5 (o sea, no pasó por la igualdad).
ResponderBorrarDe la primera desigualdad obtenemos 5a<4k, y entonces 4k≥5a+1. Pero de la segunda desigualdad obtenemos 4k+4<5a+5, lo que a su vez implica, 4k<5a+1, lo cual contradice la primera desigualdad. Entonces, la única forma de que esto no pase, es que en algún momento se pase por la igualdad y después de la igualda a mayor. ■
bn
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