Problemas 25 de julio
1) Encuentra el menor entero positivo que es múltiplo común de 4 y 6 tal que cada dígito es 4 o 6 y tiene al menos un dígito 4 y un dígito 6.
2) Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que AB=CD, ∠BCD=57°, y ∠ADB +∠CBD = 180°.
Cuanto vale el angulo ∠BAD ?
La idea es que hagan los problemas lo más rápido posible, para practicar velocidad.
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Hola Daniel, mira esta es mi solución del 2.
ResponderBorrarTrazo la linea BC' tal que BC'=BC y ∠C'BA=57 y tambien trazo la linea AC'. Tengo que el triángulo ABC' es congruente al DCB por el criterio LAL, AB=DC, ∠BCD = ∠C'BA, C'B=CB. Si le llamamos x al ∠CBD entonces ∠BC'A tambien es x y como tenemos que ∠ADB + ∠CBD = 180 entonces el ∠ADB = 180-x. Como los ángulos opuestos del cuadrilátero AC'BD, ∠ADB y ∠BC'A suman 180 entonces ese cuadrilátero es ciclico. Y como DB=AC' por la congruencia de los triangulos ABC' y DCB, entonces los angulos ∠BAD y ∠C'BA son iguales porque abren el mismo arco y como el ∠C'BA=57, entonces el ∠BAD=57
muy bien
BorrarEn el 1, me fijo en que para que sea múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo de 3 y de 2, pero como solo hay 4s y 6s, entonces si es múltiplo de 2. Entonces ahora el problema seria lo mismo pero que sea multiplo comun de 3 y 4. Luego me fijo que para que el número sea múltiplo de 3 no me importa el orden de los dígitos del numero si no que su suma sea multiplo de 3. El numero debe contener al menos un 6 y un 4 y 6+4=10 quiero agregar la menor cantidad de numeros posibles con la menor cantidad de 6s posibles tal que cuando se los sumes a 10 den un multiplo de 3. primero intento agregarle 1 numero, si le agrego 4 o 6 la suma seria 14 o 16 y ninguna de las dos es multiplo de 3, entonces tengo que agregar de menos 2 numeros mas, y si quiero agregar la menor cantidad de 6s posibles intento agregar solo 2 4s, si agrego 2 4s la suma seria 18, y como si es multiplo de tres 18 entonces los digitos que va a tener el numero son 4,4,4,6 ahora busco la forma de acomodarlos tal que el numero sea multiplo de 4 y sea lo menor posible, en este caso lo menor posible seria 4446, pero eso no es multiplo de 4, el segundo caso es 4464, y ese si es multiplo de 4 entonces ese es el resultado.
ResponderBorrar4464
muy bn
BorrarCuanto tiempo te tardaste en saber la respuesta cada problema?
Borrarmmm como 1 hora en el 2 y como 30 minutos en el 1 para saber como explicarlo, porque al principio el 1 lo hice por casos pero despues intente hacer una solucion un poco mas bonita, pero si me tarde un poquito
ResponderBorrarmasomenos 1 hora y 45 mins entre los dos de resolverlos y escribirlos. Porque al escribirlos como que escribir en la compu hace que me equivoque varias veces y ya lo estaba rechecando varias veces.
ResponderBorrardigamos que n es el número de digitos 4´S en nuestro multiplo mas pequeño y m el Numero de 6´s en nuestro multiplo. nos fijamos que primero necesita que sea multiplo de 3 si es de 6, y entonces usando la regla de divicivilidad del 3 y entonces decimos que 4n + 6m =0 mod 3 como 6m= 0 mod 3 entonces 4n = 0 mod 3, entonces es fácil ver que el mínimo número de 4´s necesarios son 3. como son necesarios usar ahora al menos un dígito 6´s y 3 dígitos 4´s probamos las opciones con esos números empezando por el menos y vemos que 4446 no es múltiplo de 4 y el siguiente 4464 si es de ambos por lo cual es el mínimo numero
ResponderBorrary el segundo
llamemos E a un punto en la prolongación de CD de lado de D, x = adb, z=abc.
tenemos que el angulo BDC = B-57 entonces angulo ADE=57, como sabemos que BDE es angulo externo De triangulo BCD entonces 57+x=y+57 => x=y y como x+y=180 => x=90. ahora tenemos dos triángulos rectángulos con dos lados iguales por lo que son congruentes por lo tanto DAB=57