Problema 16 de Mayo

Sea a > 1 un número real y n un entero positivo. Muestra que: a^n -1 >= n {a^[(n+1)/2]- a^[(n-1)/2]}

Problema 9 de Mayo

Un pirata reparte su tesoro en 2012 cofres numerados del 1 al 2012 y ademas en cada cofre guarda al azar las 2012 llaves que abren esos 2012 cofres (una llave en cada cofre) si se logran abrir el cofre 1 y el cofre 2 (forzándolos) ¿en cuantos acomodos sera posible que por como quedaron las llaves se puedan abrir todos los cofres?

Problema 8 de mayo

Sean AX,BY,CZ tres cevianas que concurren dentro del tiangulo ABC en el punto D. Prueba que si dos de los cuadriláteros DYAZ, DZBX, DXCY son cíclicos, el tercero también lo es.

Problema 7 de Mayo

Encuentra el mayor entero N que cumple las siguientes propiedades: a) N tiene todos sus dígitos distintos b) todo dígito de N divide a N

Perdón por no poner problemas, pero anduve ocupado, ya actualicé los problemas y hasta les puse el problema del viernes, asi que tienen como unos 5 problemas nuevos para intentar, en cuanto tenga tiempo pondré más hints y soluciones y revisaré las suyas.

Problema 4 de Mayo

Coloque un caballo de ajedrez sobre un tablero de 4 por n. Es posible, que en 4n movimientos consecutivos del caballo, pueda visitar cada casilla del tablero y regresar a la casilla de inicio?

Problema 3 de Mayo

Rogelio está resolviendo problemas en orden. Para ver como va, hace una cuenta de la cantidad de problemas que resuelve. El n umero r(k) es la cantidad de problemas que resolvió tras intentar los primeros k. Se da cuenta que al inicio de la tarde la proporción de problemas que había resuelto (es decir r(k)/k) era menor a 80% y al final de la tarde la proporción era mayor a 80%. ¿Necesariamente hubo algún momento en el que la proporción fuera exactamente 80%?

Problema 2 de Mayo

Determina todos los enteros que son primos relativos a todos los numeros de la sucesión a_n = 2^n + 3^n + 6^n − 1. [es lo mismo que: encuentra todos los n tales que 1=(n,a_1)=(n,a_2)=(n,a_3)=(n,a_4)=.... ]

Problema 1 de Mayo

Sean 1 ≤ r ≤ n y considera todos los subconjuntos de r elementos del conjunto {1, 2, ...,n}. Cada uno de estos conjuntos tiene un elemento más pequeño. Sea F(n, r) la media aritmética de todos éstos números. Demuestra que F(n, r) =(n + 1)/(r + 1)

Problema 30 de Abril

Sea a_1, a_2, a_3, ... una sucesión infinita de enteros con una cantidad infinita de términos positivos y una cantidad infinita de términos negativos. Se sabe que para cualquier n, los números a_1, a_2, ... , a_n dejan n residuos distintos al dividirlos por n. Demuestra que cada entero aparece exactamente una vez en la sucesión.

Problema 27 de Abril

Dos circunferencias Γ1 y Γ2 están contenidas en el círculo Γ y son tangentes a Γ en los puntos distintos M y N, respectivamente. Γ1 pasa por el centro de Γ2. La recta que pasa por los puntos de intersección de Γ1 y Γ2 intersecta a Γ en A y B, respectivamente. Las líneas MA y MB intersectan a Γ1 en C y D, respectivamente. Prueba que CD es tangente a Γ2.